Question

已知数列{a_n}满足a1=-1，an+1=

(3n+3)an+4n+6

n

．
（1）求数列（a_n）的通项公式；
（2）令bn=

3n-1

an+2

，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：当n≥2时Sn2＞2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)；
（4）证明：bn+1+bn+2+…+b2n＜

4

5

（5）．

Answer 1

分析：（1）将已知关系式两边同除以n（n+1）变形

an+1

n+1

=3

an

n

+

6

n

-

2

n+1

、整理、转化成等差或等比数列问题解决．
（2）由（1）能知bn=

1

n

，但数列{b_n}的前n项和S_n无法进一步化简，因此考虑利用b_n，S_n的关系bn=

S1      n=1 Sn-Sn-1    n≥2

进行相互转化求证．
（3）是与自然数有关的不等式命题，用数学归纳法证明．

解答：解：（1）由已知得na_n+1=3（n+1）a_n+4n+6，两边同除以n（n+1）得：

an+1

n+1

=3

an

n

+

6

n

-

2

n+1

，所以

an+1+2

n+1

=3

an+2

n

，
所以{

an+2

n

}是首项为1，公比为q=3的等比数列．
所以

an+2

n

=3n-1．∴a_n=n•3^n-1-2
（2）由（1）知bn=

1

n

．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=

1

n

即Sn-

1

n

=Sn-1．
两边平方得Sn2-Sn-12=

2Sn

n

-

1

n2

，Sn-12-Sn-22=

2Sn-1

n-1

-

1

(n-1)2

，Sn-22-Sn-32=

2Sn-2

n-2

-

1

(n-2)2

，
┅┅S22-S12=

2S2

2

-

1

22

相加得Sn2-1=2(

S2

2

+

S3

3

++

Sn

n

)-(

1

22

+

1

32

++

1

n2

)
又1-(

1

22

+

1

32

++

1

n2

)＞1-(

1

1×2

+

1

2×3

++

1

n(n-1)

)=

1

n

＞0∴Sn2＞2(

S2

2

+

S3

3

++

Sn

n

)．
（3）（数学归纳法）
当n=1，2时，显然成立；
当n≥2时，证明不等式

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

＜

4

5

-

1

2n+1

＜

4

5

．
假设当n=k（k≥2）时命题也成立，即

1

k+1

+

1

k+2

++

1

2k

＜

4

5

-

1

2k+1

则当n=k+1时

1

k+2

+

1

k+3

++

1

2k+2

＜

4

5

-

1

2k+1

-

1

k+1

+

1

2k+1

+

1

2k+2

=

4

5

-

1

2k+2

＜

4

5

-

1

2k+3

＜

4

5

所以当n=k+1时命题也成立，
故原不等式成立．

点评：（1）以数列的递推关系为载体，构造等比数列，求出了数列（a_n）的通项公式．（2）利用b_n，S_n的关系解决，避免了繁琐的S_n的计算式表示（3）要求学生掌握数学归纳法在证明题中的运用．三个问题跨度大，思维跳跃性强．是难题．