Question

（本小题满分12分）已知函数的定义域为R，它的图像关于原点对称，且当时，函数取极值1。（1）求的值；（2）若，求证：；（3）求证：曲线上不存在两个不同的点A、B，使过A、B两点的切线都垂直于直线AB。

Answer 1

（1）（3）不存在两个不同的点A、B，使过A、B的切线都垂直于直线AB。

解析:

（1）由已知，，即恒成立，故。所以

。由得，解得。

（2），当时，，所以单调减，于是，，从而。

（3）设，由，过A、B两点的切线平行，故，得：。由于，所以，于是，。因为过A点的切线垂直于直线AB，所以，，方程无解。因此，不存在两个不

同的点A、B，使过A、B的切线都垂直于直线AB。