Question

（09年湖北重点中学联考理）（13分）

已知数列的通项公式是，数列是等差数列，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．

（1）若，，求数列的通项公式；

（2）若，数列的前5项成等比数列，且，．

（i）求证：元素2不可能是数列中的第项（）

              （ii）证明：当时，（）．

Answer 1

解析：（1）若，因为5，6，7 ，则5，6，7， 由此可见，等差数列的公差为1，而3是数列中的项， 所以3只可能是数列中的第1，2，3项，

若，则， 若，则，若，则； … 4分

（写出一个或两个通项公式得2分，全部写出得4分）

（2） () 若2是数列的第项（），则，

即数列的公差，

所以，1，2，4<，所以1，2，4在数列的

前8项中，由于，这样，，，…，以及1，2，4共9项，

它们均小于8，即数列的前9项均小于8，这与矛盾       8分

 ()首先对元素2进行分类讨论：

 ①若2是数列的第2项，由的前5项成等比数列，得

，这显然不可能；

②若2是数列的第3项，由的前5项成等比数列，得，因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的， 所以，则，因此数列的前5项分别为1，，2，，4，这样， 则数列的前9项分别为1，，2，，4，，，，8

上述数列符合要求；                                           12分

又由①知元素2不可能是数列中的第k项（）.综上所述，

又当时， ，因为是公差为的等差数列，

  所以，所以

                                                          13分