Question

（2011•惠州模拟）如图，四边形ABCD为矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E为BC上的动点．
（1）当E为BC的中点时，求证：PE⊥DE；
（2）设PA=1，在线段BC上存在这样的点E，使得二面角P-ED-A的平面角大小为

π

4

．试确定点E的位置．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，设AP=a，用坐标表示点与向量，证明

PE

•

DE

=0，即可证PE⊥DE；
（2）设BE=x，求得向量

AP

=(0，0，1)为平面AED的一个法向量，平面PDE的法向量

n

=(2-x，1，2)，利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：证明：以为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．…（1分）
（1）不妨设AP=a，则P（0，0，a），E（1，1，0），D（0，2，0），
从而

PE

=(1，1，-a)，

DE

=(1，-1，0)，…（5分）
于是

PE

•

DE

=（1，1，-a）•（1，-1，0）=0，
所以

PE

⊥

DE

，所以PE⊥DE…（6分）
（2）解：设BE=x，则P（0，0，1），E（1，x，0），D（0，2，0），
则

PE

=(1，x，-1)，

DE

=(1，x-2，0)…（8分）
向量

AP

=(0，0，1)为平面AED的一个法向量．设平面PDE的法向量为

n

=(a，b，c)，
则应有

n • PE =0 n • DE =0

即

a+bx-c=0 a+b(x-2)=0

解之得c=2b，令b=1，则c=2，a=2-x，x2=2-

3

从而

n

=(2-x，1，2)，…（10分）
依题意cos

π

4

=

n • AP

| n || AP |

=

2

2

，即

2

(x-2)2+5

=

2

2

，解之得x1=2+

3

（舍去），
所以点E在线段BC上距B点的2-

3

处．…（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查利用向量方法解决立体几何问题，建系设点是关键．