Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2=a2+

6

5

bc，

AB

•

AC

=3．
（1）求△ABC的面积；       
（2）若c=1，求cos(B+

π

6

)的值．

Answer 1

分析：（1）直接利用余弦定理通过已知条件，求出A的余弦值，利用同角三角函数的基本关系式，求出A的正弦值，利用斜率的数量积求出bc，即可求△ABC的面积；       
（2）通过c=1，集合（1）求出b的大小，利用余弦定理求出a，求出cosB，sinB，展开cos(B+

π

6

)，即可求解它的值．

解答：（本题满分14分）
解：（1）∵b2+c2=a2+

6

5

bc，∴b2+c2-a2=

6

5

bc，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3

5

-----------（2分）
又A∈（0，π），∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

，---------------------------------（3分）
而

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cosA=

3

5

bc=3，所以bc=5，-------------------（5分）
所以△ABC的面积为：

1

2

bcsinA=

1

2

×5×

4

5

=2-----------------------------（7分）
（2）由（1）知bc=5，而c=1，所以b=5--------------------------------------（8分）
所以a=

b2+c2-2bccosA

=

25+1-2×3

=2

5

---------------------------（9分）
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

5

5

，sinB=

2 5

5

---------------------------------（11分）
∴cos(B+

π

6

)=

3

2

cosB-

1

2

sinB=

3

2

•(-

5

5

)-

1

2

•

2 5

5

=-

15 +2 5

10

-----------（14分）

点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，两角和的正弦函数与余弦函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查解三角形的知识．