Question

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．
（I）求c的值；
（II）求{a_n}的通项公式．
（III）由数列{a_n}中的第1、3、9、27、…项构成一个新的数列{b_n}，求

lim

n→∞

bn+1

bn

的值．

Answer 1

（I）a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，因为a₁，a₂，a₃成等比数列，
所以（2+c）²=2（2+3c），解得c=0或c=2．
当c=0时，a₁=a₂=a₃，不符合题意舍去，故c=2．
（II）当n≥2时，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…a_n-a_n-1=（n-1）c，
所以an-a1=[1+2++(n-1)]c=

n(n-1)

2

c．
又a₁=2，c=2，故a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n=2，3，）．
当n=1时，上式也成立，所以a_n=n²-n+2（n=1，2，）
（III）b_n=3^2n-2-3^n-1+2，
∴

lim

n→∞

bn+1

bn

=9．