Question

已知双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)，它的一个顶点到一条渐近线的距离为

2

3

c（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  3

  或

  6

  2

• B．

  6

  2

• C．

  3 7

  7

• D．

  3

Answer 1

分析：不妨设它的一个顶点（a，0）到一条渐近线y=

b

a

x的距离为

2

3

c，由此利用点到直线的距离建立方程，根据a＞b，即可确定双曲线的离心率．

解答：解：不妨设它的一个顶点（a，0）到一条渐近线y=

b

a

x的距离为

2

3

c，
则

|ab|

b2+a2

=

2

3

c
∴

a2(c2-a2)

c2

=

2

9

c2
∴2e⁴-9e²+9=0
∴e²=3或e2=

3

2

∵a＞b，∴2a²＞c²
∴e²＜2
∴e2=

3

2

∴e=

6

2

故选B．

点评：本题重点考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式的运用，根据一个顶点到一条渐近线的距离为

2

3

c，建立方程是解题的关键．