Question

函数f（x）=lnx-3x+6的零点个数为

2

个．

Answer 1

分析：利用导数研究函数f（x）单调性、极值与最值，进而得到函数的零点个数．

解答：解：函数f（x）=lnx-3x+6的定义域为（0，+∞）．
f′(x)=

1

x

-3=

1-3x

x

．令f′（x）=0，解得x=

1

3

．
当0＜x＜

1

3

时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＞

1

3

时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴当x=

1

3

时，函数f（x）取得极大值即最大值．
f(

1

3

)=ln

1

3

-1+6=5-ln3＞0．
当x＞0且x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→-∞．
故函数f（x）有且只有两个零点．
故答案为2．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数零点存在定理等基础知识与基本方法，属于中档题．