题目内容
已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于?x∈R，x•f′（x）≤0，若f（a-1）-f（3-a）＜0，则a的取值范围（ ）
分析：由x•f′（x）≤0，可得函数的单调性，由f（a-1）-f（3-a）＜0得f（a-1）＜f（3-a），然后利用函数的单调性和奇偶性进行求解．
解答：解：∵x•f′（x）≤0，
∴当x≥0时，f′（x）≤0，此时函数单调递减．
当x≤0时，f′（x）≥0，此时函数单调递增．
由f（a-1）-f（3-a）＜0，得f（a-1）＜f（3-a），
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（a-1）＜f（3-a）等价为f（|a-1|）＜f（|3-a|），
∵x≥0时，函数单调递减．
∴|a-1|＞|3-a|，
即（a-1）2＞（3-a）2，
∴a2-2a+1＞9-6a+a2，
即4a＞8，解得a＞2，
故选D．
∴当x≥0时，f′（x）≤0，此时函数单调递减．
当x≤0时，f′（x）≥0，此时函数单调递增．
由f（a-1）-f（3-a）＜0，得f（a-1）＜f（3-a），
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（a-1）＜f（3-a）等价为f（|a-1|）＜f（|3-a|），
∵x≥0时，函数单调递减．
∴|a-1|＞|3-a|，
即（a-1）2＞（3-a）2，
∴a2-2a+1＞9-6a+a2，
即4a＞8，解得a＞2，
故选D．
点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，利用导数和函数单调性的关系确定函数的单调性是解决本题的关键．
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