Question

17、过抛物线y²=4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点．
（1）求AB的中点C到抛物线准线的距离；
（2）求线段AB的长．

Answer 1

分析：（1）先根据抛物线的焦点坐标和直线的倾斜角可表示出直线AB的方程，然后联立直线方程与抛物线方程可得到两根之和与两根之积进而可得到中点C的横坐标求出AB的中点C到抛物线准线的距离．
（2）根据（1）中所求的两根之和与两根之积结合两点间的距离公式即可得到答案．

解答：解：（1）抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，
直线AB的方程为y=x-1，
设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
将y=x-1代入y²=4x得x²-6x+1=0．
则x₁+x₂=6，x₁•x₂=1．
故中点C的横坐标为3．
所以中点C到准线的距离为3+1=4．
（2）∵|AB|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（x₁-x₂）²+[（x₁-1）+（x₂-1）]²=2（x₁-x₂）²
=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=2（36-4）=64
∴|AB|=8．

点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题和两点间的距离公式．直线与圆锥曲线的综合问题一直都是高考的重点，要着重复习．