题目内容

设f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2010）则f′（2010）=
2009!
2009!
．
分析：将f（x）看成两个因式的乘积，其中一个因式为x-2010，利用积的导数公式求出f（x）的导函数，将x=2010代入求出值．
解答：解：∵f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2010），
∴f′（x）=[（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2009）]′（x-2010）+[（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2009）]（x-2010）′
=[（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2009）]′（x-2010）+[（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2009）]
∴f′（2010）=2009×2008×…×1=2009!
故答案为2009!．
点评：本题考查求函数在某点处的导数，应该先利用导数的运算法则求出函数的导函数再求函数值，属于基础题．
练习册系列答案
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设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
设f（x）=msin（πx+α1）+ncos（πx+α2），其中m、n、α1、α2都是非零实数，若f（2011）=1则f（2012）=
-1
-1
．
设f（x）=x（x-1）（x-2）…（x-100）,则f′（0）等于（　　）

A.100

B.0

C.100×99×98×…×3×2×1

D.1

设f（x）=x（x-1）（x-2）…（x-100）,则f′（0）等于（　　）

A.100

B.0

C.100×99×98×…×3×2×1

D.1

设f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，若g（x）=a（x-2）-（x-2）3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x=1时，f（x）取得极值，证明：对任意x1，x2∈（-1，1），不等式|f（x1）-f（x2）|＜4恒成立；
（3）若f（x）是[1，+∞）上的单调函数，且当x≥1，f（x）≥1时，有f[f（x）]=x，求证：f（x）=x．

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