Question

如图，在三棱锥P-ABC中，底面△ABC为等边三角形，∠APC=90°，PB=AC=2PA=4，O为AC的中点．
（Ⅰ）求证：BO⊥PA；
（Ⅱ）判断在线段AC上是否存在点Q（与点O不重合），使得△PQB为直角三角形？若存在，试找出一个点Q，并求

AQ

QC

的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：对（I），先通过证线线垂直，证线面垂直，再由线面垂直证线线垂直．
对（II），在（I）基础上可知平面ABC与平面PAC的垂直性，所以只需过P作交线AC的垂线，由线线垂直⇒线面垂直，再由线面垂直⇒线线垂直，证明直角三角形的存在性．在上述条件下求出

AQ

QC

的值即可．

解答：解：（Ⅰ）证明：如图，连接PO，
在等边△ABC中，∵O是AC的中点，且AC=4，
∴BO⊥AC，BO=2

3

．
在直角△PAC中，因为O是斜边AC的中点，且AC=4，∴PO=2，
在△PBO中，由PB=4，得PB²=PO²+BO²，
∴PO⊥BO
又∵AC∩PO=O，AC?平面PAC，PO?平面PAC，
∴BO⊥平面PAC，（5分）
又∵PA?平面PAC，
∴BO⊥PA．                                                         （7分）
（Ⅱ）线段AC上存在点Q，使得△PQB为直角三角形．
如图，过P作PM⊥AC于点M，连接BM，
∵BO⊥平面PAC，
∴BO⊥PM．
又∵BO∩AC=O，BO?平面ABC，AC?平面ABC，
∴PM⊥平面ABC，（10分）
∴PM⊥BM，即△PMB为直角三角形．
故当点Q与点M重合时，△PQB为直角三角形．                            （12分）
在直角△PAC中，由∠APC=90°，AC=2PA=4，PO=2，
得AM=1，（即AQ=1），MC=3（即QC=3），
∴当

AQ

QC

=

1

3

(即

AM

MC

=

1

3

)时，△PQB为直角三角形．                    （14分）

点评：本题主要考查线面垂直的判定与线面垂直的性质．即线线垂直?线面垂直的相互转化．
勾股定理是平面几何中证明线线垂直的重要方法．