Question

【题目】已知一列函数，设直线与的交点为，点在轴和直线上的射影分别为，记的面积为，的面积为.

（1）求的最小值，并指出此时的取值；

（2）在中任取一个函数，求该函数在上是增函数或在上是减函数的概率；

（3）是否存在正整数，使得成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）, （2） （3）不存在

【解析】

（1）根据题意表示出,结合基本不等式即可求得最小值及取得最小值时的值.

（2）根据函数表达式,结合打勾函数的图像与性质,即可判断在上是增函数或在上是减函数的所有情况,即可求得在中满足条件的概率.

（3）由直线与的交点为,即可求得点的坐标.由点在轴和直线上的射影分别为,结合点到直线距离公式即可求得的坐标.表示出的面积,的面积.将、的表达式代入等式中,通过化简变形,检验即可得知的值,若不存在.

（1）函数

所以

由基本不等式可知,

当且仅当时取等号,即时取等号

所以的最小值为,当时取等号

（2）因为结合对勾函数的图像与性质

所以

在内满足单调递增,而不满足.因而满足在内满足单调递增的函数共有49个.

因为,而

而满足在内单调递减,所以此时共有

所以该函数在上是增函数或在上是减函数的个数共有个

即该函数在上是增函数或在上是减函数的概率为

（3）因为直线与的交点为

所以

点在轴上的射影为,所以

点在直线上的射影为,直线方程化为一般式可得

则由点到直线距离公式可得

从向轴作垂直,交于点E

则

所以

画出函数图像如下图所示:

所以的面积为

的面积为

假设存在正整数,使得成立,代入可得

将式子化简可得

当时,等式左边等于20,等式右边等于17,等式不成立

当时,等式左边等于32,等式右边等于68,等式不成立

当时,等式左边小于0,等式右边大于0,等式不成立.

综上可知,不存在正整数,使得成立