Question

已知函数f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x．
（1）若f（x）图象左移θ单位后对应函数为偶函数，求θ的值；
（2）若x∈[

π

4

，

π

2

]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，再根据左移θ后对应函数为偶函数，求得θ的值．
（2）根据x∈[

π

4

，

π

2

]时，不等式f（x）＞m恒成，可得m＜f（x）_min，再由

π

6

≤2θ-

π

3

≤

2π

3

，求得f（x）的最小值，从而求得m的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=1-cos(

π

2

+2x)-

3

cos2x=1+sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)+1y=f(x+θ)=2sin[2(x+θ)-

π

3

]+1=2sin(2x+2θ-

π

3

)+1…（4分）
∵左移θ后对应函数为偶函数，∴sin(2θ-

π

3

)=±1，2θ-

π

3

=kπ+

π

2

∴θ=

kπ

2

+

5π

12

(k∈Z)…（7分）
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]时，不等式f（x）＞m恒成立，∴m＜f（x）_min ，（9分）
而

π

6

≤2θ-

π

3

≤

2π

3

，∴f（x）_min=2，
∴m的取值范围是（-∞，2）．…（14分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．