Question

已知函数f(x)=sin(2x-

π

6

)-2cos2x
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）x∈[-

π

6

，

π

3

]，求函数f（x）的最大值及相应的自变量x的取值．

Answer 1

分析：（1）通过二倍角的余弦函数两角和与差的三角函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过三角函数的周期公式求出函数的周期．
（2）通过x的范围求出三角函数的相位的范围，然后求解函数的最大值以及x的值．

解答：解：（1）∵f(x)=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-(1+cosx)…（2分）=

3

2

sin2x-

3

2

cos2x-1=

3

sin(2x-

π

3

)-1，…（4分）
∴函数f（x）的最小正周期T=π．              　　　　…（6分）
（2）由-

π

6

＜x＜

π

3

，得-

2π

3

≤2x-

π

3

＜

π

3

…（10分）
∴由正弦函数的图象知当2x-

π

3

=

π

3

即x=

π

3

时，
有ymax=

3

×

3

2

-1=

1

2

…（13分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，三角函数的周期的求法，函数的最大值的求法，考查计算能力以及转化思想的应用．