Question

已知双曲线的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为，建立方程，求得几何量，即可求得双曲线方程；
（2）直线方程与双曲线方程联立，利用C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，可得|CA|=|DA|，结合韦达定理，即可求得m的取值范围．
解答：解：（1）由题意可得：，则①
设直线方程为，原点到直线距离为，则，即②，
由①②可得a=，b=1，∴双曲线方程为；
（2）设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），由
消去y整理可得（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0
∵直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线交于不同的两点C、D，
∴△=（-6km）²-4（1-3k²）（-3m²-3）＞0，即m²+1＞3k²，③
∵C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，
∴|CA|=|DA|
∴=
∵y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m
∴（1+k²）（x₁+x₂）+2k（m+1）=0
∵x₁+x₂=
∴（1+k²）×+2k（m+1）=0
∴4m+1-3k²=0
∵m²+1＞3k²＞0
∴m²+1＞4m+1＞0
∴＜m＜0或m＞4
点评：本题考查了利用双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．