Question

【题目】如图所示，已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的焦距为2，直线y=x被椭圆C截得的弦长为 ．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点M（x0 ， y0）是椭圆C上的动点，过原点O引两条射线l1 ， l2与圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2= 分别相切，且l1 ， l2的斜率k1 ， k2存在．
①试问k1k2是否定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由；
②若射线l1 ， l2与椭圆C分别交于点A，B，求|OA||OB|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由2c=2，c=1，设直线直线y=x被与椭圆C相交于P，Q两点，
则丨OP丨= ，设P（ ， ），代入椭圆方程， ，①
由a2﹣b2=1，②
解得：a2=2，b2=1，
∴椭圆的标准方程： ；
（Ⅱ）①设射线l的方程y=kx，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由 = ，两边平方得（3x02﹣2）k2﹣6x0y0k+3y02﹣2=0，
由y02=1﹣ ，
∴k1k2= = =﹣ ，
∴k1k2为定值，定值﹣ ，
②方法一：联立 ，消去y，x12= ，丨OA丨= ，同理丨OA丨= ，
|OA|2|OB|2= =4× = =2+ ，
=2+ ≤ ，当且仅当k12= ，取等号，
∴|OA||OB|的最大值为 ，
方法二：联立 ，消去y，x12= ，丨OA丨= ，同理丨OA丨= ，
则|OA|2+|OB|2= + = + = + =3，
由|OA|2+|OB|2≥2|OA||OB|，则|OA||OB|≤ ，当且仅当|OA|=|OB|时，取等号，
∴|OA||OB|的最大值 ．
【解析】（Ⅰ）由c=2，求得P点坐标，代入椭圆方程，由a2﹣b2=1，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）①设射线l的方程y=kx，代入椭圆方程，由韦达定理即可求得k1k2= ，由y02=1﹣ ，即可求得k1k2=﹣ ；②方法一：分别求得直线OA及OB的方程代入椭圆方程，求得|OA|及|OB|，利用基本不等式的性质，即可求得|OA||OB|的最大值；
方法二：|OA|2+|OB|2= + ，y02=1﹣ ，代入即可求得：|OA|2+|OB|2=3，由|OA|2+|OB|2≥2|OA||OB|，即可求得|OA||OB|的最大值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．