Question

已知函数f(x)=

1

2

[tln(x+2)-ln(x-2)]，且f(x)≥f(4)恒成立．
（I）求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（II）设F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由函数f(x)=

1

2

[tln(x+2)-ln(x-2)]，且f(x)≥f(4)恒成立，知f（x）的定义域为（2，+∞），且f（4）是f（x）的最小值，由此利用导数性质能求出当x=7时，f（x）取得在[3，7]上的最大值．
（II）由F（x）是单调递增函数，知f′（x）＞0恒成立，所以（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．再由分类讨论思想能求出a的取值范围．

解答：解：（I）∵函数f(x)=

1

2

[tln(x+2)-ln(x-2)]，且f(x)≥f(4)恒成立，
∴f（x）的定义域为（2，+∞），且f（4）是f（x）的最小值，
又∵f′（x）=

1

2

(

t

x+2

-

1

x-2

)，
∴f′(4)=

1

2

(

t

6

-

1

2

)=0，解得t=3．
∴f′(x)=

1

2

(

3

x+2

-

1

x-2

)=

x-4

x2-4

，
∴当2＜x＜4时，f′（x）＜0；当x＞4时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（2，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数，
∴f（x）在[3，7]上的最大值在应在端点处取得．
∵f（3）-f（7）=

1

2

（3ln5-ln1）-

1

2

（3ln9-ln5）=

1

2

（ln625-ln729）＜0，
∴f（3）＜（7），
故当x=7时，f（x）取得在[3，7]上的最大值．
（II）∵F（x）是单调递增函数，∴f′（x）＞0恒成立．
又∵F′(x)=

a

x-1

-

x-4

x2-4

=

(a-1)x2+5x-4(a+1)

(x-1)(x2-4)

，
在f（x）的定义域（2，+∞）上，（x-1）（x²-4）＞0恒成立，
∴（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．
下面分类讨论（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立时，a的解的情况：
当a-1＜0时，不可能有（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立；
当a-1=0时，（a-1）x²+5x-4（a+1）=5x-5＞0在（2，+∞）恒成立；
当a-1＞0时，又有两种情况：
①5²+16（a-1）（a+1）＜0；
②-

5

2(a-1)

＜2，且（a-1）x²+5×2-4（a+1）＞0．
由①得16a²+9＜0，无解；
由②得a＞-

1

4

，∵a-1＞0，∴a＞1．
综上所述，当a≥1时，（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．
∴a的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题考查函数的最大值的求法及应用，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．