题目内容

函数f（x）=
1
3
ax3+
1
2
ax2-2ax+2a+1的图象经过四个象限的充要条件是
 
．
分析：利用导数研究函数的单调性，可得f（-2）与f（1）中，一个是函数的极大值而另一个是函数的极小值．结合题意可得f（-2）•f（1）＜0，得到关于a的不等式，解之即可得出实数a的范围，从而得到所求充要条件．
解答：解：∵f（x）=
1
3
ax3+
1
2
ax2-2ax+2a+1，
∴求导数，得f′（x）=a（x-1）（x+2）．
①a=0时，f（x）=1，不符合题意；
②若a＜0，则当x＜-2或x＞1时，f′（x）＜0；当-2＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-2，1）是为增函数，在（-∞，-2）、（1，+∞）上为减函数；
③若a＞0，则当x＜-2或x＞1时，f′（x）＞0；当-2＜x＜1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-2，1）是为减函数，在（-∞，-2）、（1，+∞）上为增函数
因此，若函数的图象经过四个象限，必须有f（-2）•f（1）＜0，
即（
16a
3
+1）（
5a
6
+1）＜0，解之得-
6
5
＜a＜-
3
16
．
故答案为：-
6
5
＜a＜-
3
16
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、函数的图象、充要条件的判断等知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
若x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．
（Ⅰ）若x1=-
1
3
，x2=1，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|x1|+|x2|=2
3
，求b的最大值；
（Ⅲ）若-
1
3
为函数f（x）的一个极值点，设函数g(x)=f′(x)-ax-
1
3
a，当x∈[-
1
3
，a]时求|g（x）|的最大值．
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a＞0）在x=x1和x=x2处取得极值．
（Ⅰ）若c=-a2，且|x1-x2|=2，求b的最大值；
（Ⅱ）设g（x）=f′（x）+x，若0＜x1＜x2＜
13a
，且x∈（0，x1），证明：x＜g（x）＜x1．
f（x）为定义在R上的函数，f（1）=1，对任意x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1恒成立
（1）对任意n∈N*，有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n+1
)+1，求Tn=
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an

（2）设F（n）=an+1+an+2+…+a2n，若
1
4
a2-
1
3
a+
12
35
≤F（n）对于一切n≥2且n∈N*恒成立，求a的取值范围．

（本小题满分12分）

已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d (b,c,d∈R且都为常数)的导函数f¢(x)=3x2+4x且f(1)=7，设F(x)=f(x)-ax2

(1)当a<2时，求F(x)的极小值；

(2)若对任意x∈[0,+∞)都有F(x)≥0成立，求a的取值范围；

(3)在(2)的条件下比较a2-13a+39与的大小.

 
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a＞0）在x=x1和x=x2处取得极值．
（Ⅰ）若c=-a2，且|x1-x2|=2，求b的最大值；
（Ⅱ）设g（x）=f′（x）+x，若0＜x1＜x2＜
1
3a
，且x∈（0，x1），证明：x＜g（x）＜x1．

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