Question

用数学归纳法证明：如果{a_n}是一个等差数列，那么a_n=a₁+(n-1)d对一切n∈N^*都成立.

Answer 1

思路分析：我们知道等差、等比数列的通项公式都是通过递推得出结论的，无法用演绎法证明它们的无穷性，数学归纳法以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.

证明：（1）当n=1时，左=a₁，

右=a₁+(1-1)d=a₁，所以等式成立.

(2)假设当n=k(k∈N)时等式成立，即a_k=a₁+(k-1)d.

那么a_k+1=a_k+d=a₁+(k-1)d+d=a₁+［(k+1)-1］d.

∴当n=k+1时，等式成立，由(1)(2)知对任何n∈N^*等式成立.

方法归纳

    因为数列的通项公式，前n项和公式都是关于自然数n的函数，所以在关于这类问题的证明上，如果我们无法确定其他比较简便的证明方法，那么数学归纳法是证明它们的一种有效方法.