题目内容
【题目】一湖中有不在同一直线的三个小岛A、B、C，前期为开发旅游资源在A、B、C三岛之间已经建有索道供游客观赏，经测量可知AB两岛之间距离为3公里，BC两岛之间距离为5公里，AC两岛之间距离为7公里，现调查后发现，游客对在同一圆周上三岛A、B、C且位于
（优弧）一片的风景更加喜欢，但由于环保、安全等其他原因，没办法尽可能一次游览更大面积的湖面风光，现决定在上选择一个点D建立索道供游客游览，经研究论证为使得游览面积最大，只需使得△ADC面积最大即可.则当△ADC面积最大时建立索道AD的长为______公里.（注：索道两端之间的长度视为线段）
【答案】
【解析】
根据题意画出草图，根据余弦定理求出
的值，设点
到
的距离为
，可得
，分析可知取最大时，
取最大值，然后再对
为中点和不是中点两种情况分析，可得的最大值为
，然后再根据圆的有关性质和正弦定理，即可求出结果．
根据题意可作出
及其外接圆
，连接
，交于点，连接
，如下图：
在中，由余弦定理
,
由为的内角，可知
，所以
.
设的半径为
，点
到的距离为
，点到的距离为，则,
故取最大时，取最大值.
①当为中点时，由垂径定理知
，即
，
此时
，故
；
②当不是中点时，
不与垂直，设此时与所成角为
，则
，故
；
由垂线段最短知
，此时
;
综上，当为中点时，到的距离最大，最大值为；
由圆周角定理可知，
,
由垂径定理知，此时点为优弧
的中点，故
，
则
，
在
中，由正弦定理得
所以
.
所以当△ADC面积最大时建立索道AD的长为公里.
故答案为：．
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