Question

已知函数f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函数
（1）求实数m的取值集合A
（2）当m取值集合A中的最小值时，定义数列{a_n}；满足a₁=3，且a_n＞0，a_n+1=

-3f/(an)+9

-2，设
b_n=a_n-1，证明：数列{b_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式．
（3）若c_n=na_n，数列{c_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）在（0，1）上是增函数，得f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，转化为函数最值解决即可；
（2）由an+1=

-3f′(an)+9

-2，得a_n+1=3a_n-2，即a_n+1-1=3（a_n-1），由a₁-1=2及等比数列的定义可作出证明，利用等比数列的通项公式可求得a_n-1，进而可得a_n；
（3）由（2）可求cn=2n•3n-1+n，先利用错位相减法求得Tn=1×30+2×31+3×32+…+n×3^n-1，然后再求S_n．

解答：（1）解：因为函数f（x）在（0，1）上是增函数，
只需f′（x）=-3x²+m在（0，1）满足f′（x）≥0恒成立，即-3x²+m≥0，
∴m≥3，即A={m|m≥3}；
（2）证明：∵an+1=

-3f′(an)+9

-2，∴a_n+1=

-3(-3 a 2 n +3)+9

-2，
∴a_n+1=3a_n-2，∴a_n+1-1=3（a_n-1），即

bn+1

bn

=3，又a₁-1=2，
∴数列{b_n}是等比数列，首项为a₁-1=2，公比为3，
则an-1=2•3n-1，∴an=2•3n-1+1；
（3）由（2）可知cn=2n•3n-1+n，
令Tn=1×30+2×31+3×32+…+n×3^n-1，
3Tn=1×31+2×32+3×33+…+n×3n，
两式相减求得Tn=

1+(2n-1)•3n

4

，
∴Sn=

1

2

+

(2n-1)．3n

2

+

n(n+1)

2

．

点评：本题考查数列与函数的综合、利用递推式求数列通项、数列求和等知识，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大．