Question

已知函数f（x）为（-∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，则f（2012）+f（2013）的值为________．

Answer 1

1
分析：由已知可得，f（-x）=-f（x），且f（2-x）=f（x），f（0）=0，则可得f（x+4）=f（x），则f（2 012）+f（2 013）=f（0）+f（1），代入可求解；
解答：∵函数f（x）为奇函数，且f（x）的图象关于x=1对称，
∴f（-x）=-f（x），且f（2-x）=f（x），f（0）=0
∴f（2+x）=f（-x）=-f（x）
∴f（x+4）=f（x），则4是函数的周期
∵当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，
则f（2 012）+f（2 013）=f（0）+f（1）=1
故答案为1；
点评：本题主要考查了奇函数的性质的应用及函数的对称性的应用，解题的关键是由已知对称求出函数的周期为4：注意一般结论的记忆：若函数关于（a，0）对称，又关于直线x=b对称，则函数是以4|b-a|为周期的周期函数；