Question

（22）已知a≥0，函数f(x)=(x²－2ax)e^x.

（Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；

（Ⅱ）设f(x)在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围.

Answer 1

22.解：（Ⅰ）对函数f(x)求导数，得

f＇(x)=(x²－2ax)e^x+(2x－2a)e^x=[x²+2(1－a)x－2a]e^x,

令f＇(x)=0，得

[x²+2(1－a)x－2a]e^x=0,

从而x²+1(1－a)x－2a=0.

解得x₁=a－1－，x₂=a－1+，其中x₁＜x₂，

当x变化时，f＇(x)，f(x)的变化如下表：

当f(x)在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值.       

当a≥0时，x₁<－1,x₂≥0,f(x)在(x₁,x₂)为减函数，在(x₂,+∞)为增函数.

而当x<0时，f(x)=x(x－2a)e^x>0；当x=0时，f(x)=0，

所以当x=a－1+时，f(x)取得最小值.        

（Ⅱ）当a≥0时，f(x)在[－1，1]上为单调函数的充要条件是x₂≥1，

即a－1+≥1，

解得a≥,

综上，f(x)在[－1，1]上为单调函数的充分必要条件为a≥，

即a的取值范围是[，+∞).