Question

已知函数f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²，x∈[-1，1]．
（1）求f（x）的最小值；
（2）关于x的方程f（x）=2a²有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先把函数f（x）化简为f（x）=（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2的形式，令t=2^x-2^-x，则f（x）可看作关于t的二次函数，并根据x的范围求出t的范围，再利用二次函数求最值的方法求出f（x）的最小值．
（2）关于x的方程f（x）=2a²有解，即方程t²-2at+2=0在上有解，而t≠0把t与a分离，得到，则只需求出的范围，即可求出a的范围，再借助型的函数的单调性求范围即可．
解答：解：（1）f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²=2^2x+2^-2x-2a（2^x-2^-x）+2a²=（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2
令t=2^x-2^-x，则当x∈[-1，1]时，t关于x的函数是单调递增
∴，此时f（x）=t²-2at+2a²+2=（t-a）²+a²+2
当时，
当时，f（x）_min=a²+2
当时，．
（2）方程f（x）=2a²有解，即方程t²-2at+2=0在上有解，而t≠0
∴，可证明在上单调递减，上单调递增为奇函数，
∴当时
∴a的取值范围是．
点评：本题主要考察了二次函数与其它函数的复合函数的最值的求法，以及型的函数的单调性的判断．