Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n=2•3ⁿ+k（k∈R，n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足a_n=4(5+k)anbn，T_n为数列{b_n}的前n项和，试比较3-16T_n与 4（n+1）b_n+1的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）利用递推关系可得，n≥2 时，a_n=S_n-S_n-1=4×3^n-1由{a_n}是等比数列可得a₁=S₁=6+k=4从而苛求得k=-2，代入可求通项公式
（II）结合（I）可求得bn=

n-1

4•3n-1

，根据通项公式的特点求和时可利用错位相减可求T_n，要比较3-16T_n 与
4（n+1）b_n+1 的大小，可通过作差法可得，4（n+1）b_n+1-（3-16T_n）=

n(n+1)

3n

-

2n+1

3n-1

=

n(n+1)-3(2n+1)

3n

通过讨论n的范围判断两式的大小

解答：解：（Ⅰ）由S_n=2-3ⁿ+k可得
n≥2 时，a_n=S_n-S_n-1=4×3^n-1
∵{a_n}是等比数列
∴a₁=S₁=6+k=4∴k=-2，a_n=4×3^n-1
（Ⅱ）由an=4×(5+k)anbn和a_n=4×3^n-1得bn=

n-1

4•3n-1

（6分）
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

4•3

+

2

4•32

+…+

n-2

4•3n-2

+

n-1

4•3n-1

3Tn=

1

4

+

2

4•3

+

3

4•32

+…+

n-1

4•3n-2

两式相减可得，2Tn=

1

4

+

1

4•3

+

1

4•32

+…+

1

4•3n-2

-

n-1

4•3n-1

Tn=

1

8

+

1

8•3

+

1

8•32

+…+

1

8•3n-2

-

n-1

8•3n-1

=

3

16

-

2n+1

16•3n-1

4（n+1）b_n+1-（3-16T_n）=

n(n+1)

3n

-

2n+1

3n-1

=

n(n+1)-3(2n+1)

3n

而n（n+1）-3（2n+1）=n²-5n-3
当n＞

5+ 37

2

或n＜

5- 37

2

＜0时，有n（n+1）＞3（2n+1）
所以当n＞5时有3-16T_n＜4（n+1）b_n+1
那么同理可得：当

5- 37

2

＜n＜

5+ 37

2

时有n（n+1）＜3（2n+1），所以当1≤n≤5时有3-16T_n＞4（n+1）b_n+1
综上：当n＞5时有3-16T_n＜4（n+1）b_n+1；
当1≤n≤5时有3-16T_n＞4（n+1）b_n+1

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式、由递推关系求数列的通项，错位相减求数列的和，及通过作差比较大小等知识的综合应用，属于综合试题．