Question

已知函数的图象在上连续不断，定义：，．其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．

（1）已知函数，试写出，的表达式，并判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，请求对应的的值；如果不是，请说明理由；

（2）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.

Answer 1

又成立．

故存在最小的正整数，使是为上的“２阶收缩函数”．…………6分

（2）,令得或.

函数,的变化情况如下：

x	(-∞,0)	0	(0,2)	2	(2,+∞)
y’	-	0	+	0	-
y	减	极小	增	极大	减

…………………… 8分

ⅰ）时，在上单调递增，因此，，.

因为是上的2阶收缩函数，

所以，①对恒成立；

②存在，使得成立.

①即：对恒成立，由，解得：或，

要使对恒成立，需且只需.　　　　　

综合ⅰ）ⅱ）可得：.　　　　　　　　 　　　 ……………14分

注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用只是因为简单而已.