Question

在△ABC中，AB、BC边上的中线长分别为12和6，则△ABC的面积的最大值为

48

．

Answer 1

分析：设AB=c，BC=a，AC=b 设AB上的中线长x，BC上的中线长y，由余弦定理可得，x2=b2+

c2

4

- 2b•

1

2

ccosA=b2+

c2

4

-bc•

b2+c2-a2

2bc

=

2(a2+b2)-c2

4

=144，y2=

2(b2+c2)-a2

4

=36，结合海伦公式 S=

p(p-a)(p-b)(p-c)

可得S²=p（p-a）（p-b）（p-c），化简可得16s2=576a2 -

9a4

4

及b2=144-

a2

2

＞0 结合二次函数的性质可求

解答：解：设AB=c，BC=a，AC=b 设AB上的中线长x，BC上的中线长y
则利用余弦定理可得，x2=b2+

c2

4

- 2b•

1

2

ccosA=b2+

c2

4

-bc•

b2+c2-a2

2bc

=

2(a2+b2)-c2

4

=144
同理可得，y2=

2(b2+c2)-a2

4

=36
化简得c²=a²+144，b2=144-

a2

2

（1）
根据海伦公式 S=

p(p-a)(p-b)(p-c)

，p=

1

2

(a+b+c)
S²=p（p-a）（p-b）（p-c）
16s²=（a+b+c）（b+c-a）（a+c-b）（a+b-c）
=（a+b+c）（a+b-c）（b+c-a）（a+c-b）
=[（a+b+c）（a+b-c）]*[b+c-a]（a+c-b）]
=[（a+b）²-c²]•[c²-（a-b）²]
=（a²+b²+2ab-c²）（c²+2ab-a²-b²）
=[2ab+（a²+b²-c²）]•[2ab-（a²+b²-c²）]
=4a²b²-（a²+b²-c²）²（2）
将（1）代入（2）式得16s2=576a2 -

9a4

4

由于，b2=144-

a2

2

＞0 所以a²＜288
所以当a²=128时16s²取最大192²
即S最大=48
故答案为：48

点评：本题主要考查了三角形的面积公式（海伦公式）的应用，余弦定理的应用，及利用二次函数的性质求解函数的最值问题，属于知识的综合应用，要求考生具备一定的逻辑推理与运算的能力