题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1和F2，过F2的直线L与椭圆C相交 A，B于两点，且直线L的倾斜角为60°，点F1到直线L的距离为2
3
，
（1）求椭圆C的焦距．
（2）如果
AF 2
=2
F2B
，求椭圆C的方程．
分析：（1）过F1作F1⊥l可直接根据直角三角形的边角关系得到
3
c=2
3
，求得c的值，进而可得到焦距的值．
（2）假设点A，B的坐标，再由点斜式得到直线l的方程，然后联立直线与椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，求出两根，再由
AF 2
=2
F2B
，可得y1与y2的关系，再结合所求得到y1与y2的值可得到a，b的值，进而可求得椭圆方程．
解答：解：（1）设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离
3
c=2
3
，故c=2．
所以椭圆C的焦距为4．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1＜0，y2＞0，直线l的方程为y=
3
（x-2）．
联立
y= 
3
(x-2)
x2
a2
+
y2
b2
=1
得（3a2+b2）y2+4
3
b2y-3b4=0．
解得y1=
-
3
b2(2+2a)
3a2+b2
，y2=
-
3
b2(2-2a)
3a2+b2
．
因为
AF 2
=2
F2B
，所以-y1=2y2．
即
3
b2(2+2a)
3a2+b2
=2•
-
3
b2(2-2a)
3a2+b2
．
得a=3．而a2-b2=4，所以b=
5
．
故椭圆C的方程为
x2
9
+
y2
5
=1．
点评：本题主要考查椭圆的基本性质．考查考生对椭圆基本性质的理解和认知，椭圆的基本性质是高考的重点内容，每年必考，一定要熟练掌握并能灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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