Question

（本小题满分12分）

       已知椭圆与双曲线有共同的焦点F₁、F₂，设它们在第一象限的交点为P，且

   （1）求椭圆的方程；

   （2）已知N（0，-1），对于（1）中的椭圆，是否存在斜率为的直线，与椭圆交于不同的两点A、B，点Q满足？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）焦点F₁、F₂的坐标分别为、

       由双曲线和椭圆的定义，得

       解得      2分

           

       即     解得     4分

       从而       故椭圆的方程为    6分

   （2）设直线的方程为

       由方程组

       消去得

       直线与椭圆交于不同两点

      

       即①    8分

       则

       由，得Q为线段AB的中点，

       则   

             

       即     化简得     10分

       代入①得解得       11分

       又由

       所以，直线在轴上的截距的取值范围是       12分