Question

       (本小题满分14分)

己知.函数的反函数是.设数列的前n项和为，对任意的正整数都有成立，且•

(I)求数列的通项公式；      ,

(II)记，设数列的前n项和为，求证：对任意正整数n都有；

(III)设数列的前n项和为，已知正实数满足：对任意正整数n，恒成立,求的最小值

 

Answer 1

【解】（Ⅰ）根据题意得，，于是由a_n=得a_n=5S_n+1，…………1分，　　　　当时，.

又a_n+1=5s_n+1+1

数列成等比数列，其首项，公比是　　　　　　………2分    

，    　　　　　　　　　 ………..3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

   = 　　　　　　　...............（文）9分、（理）4分

 　又，当成立，　………….（文）10分、（理）5分，

当n≥2时，T_n＜ ＜＜

………………………………………（文）14分、（理）7分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设则R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1=4n+5

                           >对一切大于1的奇数n恒成立

只对满足的正奇数n成立，矛盾 .…..........9分

另一方面，当时，对一切的正整数n都有，事实上，对任意的正整数k，有

当n为偶数时，设，则

<　　　　　…………11分                

当n为奇数时，设

则…

对一切的正整数n，都有，综上所述，正实数的最小值为4   …………..….14分