Question

已知f (x)＝ax－ln(－x)，x∈(－e,0)，g(x)＝－，其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a＝－1时, f (x)的单调性、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，|f (x)|＞g(x)＋；
（3）是否存在实数a，使f (x)的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵f (x)＝－x－ln(－x)∴f ¢(x)＝－1－＝－
∴当－e≤x＜－1时，f ¢(x)＜0，此时f (x)为单调递减
当－1＜x＜0时，f ¢(x)＞0，此时f (x)为单调递增∴f (x)的极小值为f (－1)＝1
（2）∵f (x)的极小值，即f (x)在[－e,0)的最小值为1∴|f (x)|_min＝1   
令h(x)＝g(x)＋＝－＋  又∵h¢(x)＝，当－e≤x＜0时，h¢(x)≤0
∴h(x)在[－e,0)上单调递减，∴h(x)_max＝h(－e)＝＋＜＋＝1＝|f (x)|_min
∴当x∈[－e,0)时，|f (x)|＞g(x)＋
（3）假设存在实数a，使f (x)＝ax－ln(－x)有最小值3，x∈[－e,0), f ¢(x)＝a－
①当a≥－时，由于x∈[－e,0)，则f ¢(x)＝a－≥0，∴函数f (x)是[－e,0)上的增函数∴f (x)_min＝f (－e)＝－ae－1＝3解得a＝－＜－（舍去）
②当a＜－时，则当－e≤x＜时，f ¢(x)＝a－＜0，此时f (x)是减函数
当＜x＜0时，f ¢(x)＝a－＞0，此时f (x)＝ax－ln(－x)是增函数
∴f (x)_min＝f ()＝1－ln＝3解得a＝－e²．