Question

（2013•丰台区一模）动圆C经过点F（1，0），并且与直线x=-1相切，若动圆C与直线y=x+2

2

+1总有公共点，则圆C的面积（　　）

A．有最大值8π

B．有最小值2π

C．有最小值3π

D．有最小值4π

Answer 1

分析：由题意可得动圆圆心C（a，b）的方程为y²=4x．即b²=4a．由于动圆C与直线y=x+2

2

+1总有公共点，利用点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系可得圆心C到此直线的距离d≤r=|a+1|=a+1．据此可得出b或a满足的条件，进而得出圆C的面积的最小值．

解答：解：由题意可得：动圆圆心C（a，b）的方程为y²=4x．即b²=4a．
∵动圆C与直线y=x+2

2

+1总有公共点，∴圆心C到此直线的距离d≤r=|a+1|=a+1．
∴

|a-b+2 2 +1|

2

≤a+1，
又a=

b2

4

，上式化为|(

b

2

-1)2+2

2

|≤

2

(

b2

4

+1)，化为(

2

-1)b2+4b-4(

2

+1)≥0
解得b≥2或b≤-(6+4

2

)．
当b=2时，a取得最小值1，此时圆C由最小面积π×（1+1）²=4π．
故选D．

点评：本题综合考查了抛物线的定义、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、一元二次不等式及其圆的面积等基础知识，考查了推理能力和计算能力．