Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

an

2an+1

．
（1）计算a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

（1）∵a₁=1，a_n+1=

an

2an+1

，
∴a2=

a1

2a1+1

=

1

3

，a3=

a2

2a2+1

=

1

5

，a4=

a3

2a3+1

=

1

7

．             …3分
（2）由（1）可以猜想an=

1

2n-1

．                                    …4分
用数学归纳法证明：
ⅰ）当n=1时，a1=

1

2×1-1

=1，所以当n=1时猜想成立．             …5分
ⅱ）假设当n=k（k∈N^*）时猜想成立，即ak=

1

2k-1

，
当n=k+1时，ak+1=

ak

2ak+1

=

1 2k-1

2• 1 2k-1 +1

=

1 2k-1

2+2k-1 2k-1

=

1

2k+1

=

1

2(k+1)-1

所以当n=k+1时猜想也成立．
由ⅰ）和ⅱ）可知，猜想对任意的n∈N^*都成立．                   
所以an=

1

2n-1

．…8分