Question

 选修4-1：几何证明选讲

如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。已知的长为，，的长是关于的方程的两个根。

（Ⅰ）证明：，，，四点共圆；

（Ⅱ）若，且，求，，，(23)

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：

（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

        AD×AB=mn=AE×AC,                     

即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB    

因此∠ADE=∠ACB                                  

 所以C,B,D,E四点共圆。

（Ⅱ）m=4, n=6时，方程xx+mn=0的两根为x₁=2,x₂=12.

故  AD=2，AB=12.

取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

由于∠A=90⁰，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= ()=5.

故C,B,D,E四点所在圆的半径为5