Question

已知函数f（x）与g（x）在R上有定义，且对任意的实数x，y，有f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y），f（1）=f（2）≠0，则g（1）+g（-1）=

1

．

Answer 1

分析：由题意，本题只给出了一个函数有关的恒等式，可采取赋值的方法逐步寻求g（1）+g（-1）的值

解答：解：令x=0，y=0．则f（0）=f（0）g（0）-g（0）f（0）=0得f（0）=0
令y=0，x=1．则f（1）=f（1）g（0）-g（1）f（0）且f（1）≠0得g（0）=1
令x=0则f（-y）=f（0）g（y）-g（0）f（y），将f（0）=0，g（0）=1代入
得f（-y）=-f（y），．
令x=1，y=-1代入f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y）
f（2）=f（1）g（-1）-g（1）f（-1）且f（-1）=-f（1）
∴f（2）=f（1）[g（-1）+g（1）]
又f（1）=f（2）≠0
得g（1）+g（-1）=1
故答案为：1

点评：本题考查函数及其运用，利用所给的恒等式求值，一般采取赋值的办法，逐步寻求答案，此题是能力型题，对答题者观察判断的能力要求较高，本题求解过程中得出f（x）为奇函数为奇函数，相当关键，这为提出取出公共因子求出g（1）+g（-1）带来了方便．