题目内容

过原点O的直线l与椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)交于M，N两点，P是椭圆C上异于M，N的任一点．若直线PM，PN的斜率之积为-
1
4
，则椭圆C的离心率为
3
2
3
2
．
分析：设点的坐标，表示出直线PM，PN的斜率，利用直线PM，PN的斜率之积为-
1
4
，结合点差法，化简，即可求得离心率．
解答：解：设P（x，y），M（m，n），N（-m，-n），则直线PM，PN的斜率分别为
y-n
x-m
，
y+n
x+m

∵直线PM，PN的斜率之积为-
1
4
，∴
y-n
x-m
•
y+n
x+m
=-
1
4
，∴
y2-n2
x2-m2
•=-
1
4

∵M，P是椭圆C上的点
∴
x2
a2
+
y2
b2
=1，
m2
a2
+
n2
b2
=1
两式相减可得
x2-m2
a2
=-
y2-n2
b2

∴
y2-n2
x2-m2
•=-
b2
a2

∴
b2
a2
=
1
4

∴a=2b，∴c=
a2-b2
=
3
b
∴e=
c
a
=
3
2

故答案为：
3
2
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2013•怀化三模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点(
3
，
3
2
)，离心率e=
1
2
，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N(
x0
a
，
y0
b
)称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．
（2011•浦东新区三模）已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F1、F2，抛物线M：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，椭圆C与抛物线M的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l过焦点F2，与抛物线M交于A、B两点，若弦长|AB|等于△PF1F2的周长，求直线l的方程；
（3）由抛物线弧y2=4mx(0≤x≤
2m
3
)和椭圆弧
x2
4m2
+
y2
3m2
=1(
2m
3
≤x≤2m)
（m＞0）合成的曲线叫“抛椭圆”，是否存在以原点O为直角顶点，另两个顶点A1、A2落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形OA1A2，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由．
已知椭圆过点，离心率，若点M（x，y）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．
已知椭圆过点，离心率，若点M（x，y）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．
已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F1、F2，抛物线M：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，椭圆C与抛物线M的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l过焦点F2，与抛物线M交于A、B两点，若弦长|AB|等于△PF1F2的周长，求直线l的方程；
（3）由抛物线弧y2=4mx和椭圆弧
（m＞0）合成的曲线叫“抛椭圆”，是否存在以原点O为直角顶点，另两个顶点A1、A2落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形OA1A2，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由．

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