题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ．
（1）用定义证明函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；
（2）若x∈[1，2]，求函数f（x）的值域；
（3）若g（x）= $数学公式$ ，且当x∈[1，2]时g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

解：（1）设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
∵x₁＜x₂，∴2^x₂-2^x₁＞0
又2^x₁+1＞0，2^x2+1＞0，
f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（2）∵f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
∴f（x）值域为 $\text{[math]}$ ．
（3）当x∈[{1，2}]时，g（x）∈ $\text{[math]}$
∵g（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据函数单调性的定义，先在所给区间上任设两个数并确定好大小，然后通过作差法即可获得自变量对应函数值的大小关系，由定义即可获得问题的解答；
（2）结合（1）所证明的结论即可获得函数在[1，2]上的单调性，从而可以求的函数在[1，2]上的最值，进而问题即可获得解答；
（3）充分利用前两问答结论，即可获得g（x）= $\text{[math]}$ 在[1，2]上的最值，结合恒成立的条件即可将问题转化为实数a的不等关系，求解即可获得问题的解答．
点评：本题考查的是函数单调性的问题．在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、作差法、函数的最值以及恒成立问题．值得同学们体会和反思．