Question

（本小题满分14分）已知二次函数满足且.

（Ⅰ）求的解析式.

（Ⅱ）在区间上, 的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）f(x)=x²-x+1；

（Ⅱ）m<-1

【解析】本试题主要是考查了二次函数的图像与性质的运用，以及二次不等式的求解的综合运用。

（1）根据已知函数满足的关系式得到参数a,b,c的值，进而得到解析式。

（2）由于函数在给定区间上，图像恒在直线的上方，则利用数形结合思想可知，实数m的范围。

解： (Ⅰ)设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，

故f（x）=ax²+bx+1. ………………………2分

∵f(x+1)-f(x)=2x,

∴a(x+1)²+b(x+1)+1-(ax²+bx+1)=2x.

即2ax+a+b=2x, ………………………4分

所以,………………………6分

∴f(x)=x²-x+1. ………………………7分

(Ⅱ)由题意得x²-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x²-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.

设g(x)= x²-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=,………………………9分

所以g(x) 在[-1,1]上递减.

故只需g(1)>0, 即1²-3×1+1-m>0,  ………………………12分

解得m<-1.      ………………………14分