Question

如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（1）求证：AE⊥BE；

（2）求直线ED与平面ACE所成的角的大小；

（3）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE。

Answer 1

解：（1）证明：∵AD⊥平面ABE，AD//BC

∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC

又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF

∴AE⊥平面BCE    又 

∴AE⊥BE

   （2）以A为坐标原点，AB为轴，AD为轴，垂直AB的直线为轴

建立如图的空间直角坐标系

可以求得E

向量

由题意知向量为平面的法向量，

先求向量与向量的夹角，设向量与向量的夹角为

所以直线DE与直线BF所成的角为60°，

所以ED与平面ABE所成的角的大小为30° 

   （3）在三角形ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点,在三角形BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点,连MN,则

由比例关系易得CN＝

MG∥AE  MG平面ADE, AE平面ADE,

∴MG∥平面ADE

同理, GN∥平面ADE

∴平面MGN∥平面ADE

又MN平面MGN    

∴MN∥平面ADE

∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点。