Question

已知函数f(x)=-x³+3x²+9x+a.

(1)求f(x)的单调递减区间；

(2)若f(x)在区间［-2,2］上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

Answer 1

思路点拨：本题根据函数的单调性与其导函数的值的符号间的关系，确定其单调区间；再利用其导函数求出其极值，进而求得最值.

解：(1)f′(x)=-3x²+6x+9，

    令f′(x)＜0，解得x＜-1或x＞3，所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)、(3,+∞).

(2)因为f(-2)=2+a，f(2)=22+a，所以f(2)＞f(-2).又因为在（－1，3）上f′(x)＞0，所以f(x)在［-1,2］上单调递增.又由于f(x)在［-2,-1］上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间［-2,2］上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=-2.

    故f(x)=-x³+3x²+9x-2，因此f(-1)=-7，即函数f(x)在区间［-2,2］上的最小值为－7.

[一通百通]有关求函数的单调区间问题，除了利用增减函数的定义之外，还可以考虑利用相关函数的导数来判断；对于求函数的最值问题，除了以往的方法外还可以考虑利用导数来求得结果.