Question

如图，圆柱的高为2，底面半径为3,AE、DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形。

（1）求证：；

（2）求正方形ABCD的边长；

（3）求直线与平面所成角的正弦值。

Answer 1

解：（1） AE是圆柱的母线底面BEFC,又面BEFC   …… 2分

又ABCD是正方形    又面ABE

又面ABE    

（2）四边形为矩形，且ABCD是正方形 EFBC

四边形EFBC为矩形  BF为圆柱下底面的直径

设正方形ABCD的边长为，则AD=EF=AB=

在直角中AE=2，AB=，且BE²+AE²= AB²，得BE²=²-4        

在直角中BF=6，EF=，且BE²+EF²= BF²，的BE²=36-²            解得=，即正方形ABCD的边长为                    

（3）如图以F为原点建立空间直角坐标系,

则A(，0，2),B(，4，0),E(，0，0),

(，0， 2),(，4，0),

(，0，0)           …… 1分

设面AEF的法向量为(，，)，则

                                                                 … 3分

令，则即(，，)

  设直线与平面所成角的大小为，则

  

所以直线与平面所成角的正弦值为.