题目内容

(Ⅰ)求证:BC⊥BE;
(Ⅱ)求正方形ABCD的边长;
(Ⅲ)求直线EF与平面ABF所成角的正弦值.
分析:(I)根据AE⊥底面BEFC,可得AE⊥BC,而AB⊥BC,又AE∩AB=A满足线面垂直的判定定理所需条件,则BC⊥面ABE,根据线面垂直的性质可知BC⊥BE;
(II)根据题意可知四边形EFBC为矩形则BF为圆柱下底面的直径,设正方形ABCD的边长为x,根据BE2+EF2=BF2,建立方程,解之即可求出所求;
(III)以F为原点建立空间直角坐标系,求出面AEF的法向量
,然后求出法向量与向量
的余弦值即可求出直线EF与平面ABF所成角的正弦值.
(II)根据题意可知四边形EFBC为矩形则BF为圆柱下底面的直径,设正方形ABCD的边长为x,根据BE2+EF2=BF2,建立方程,解之即可求出所求;
(III)以F为原点建立空间直角坐标系,求出面AEF的法向量
n |
EF |
解答:
解:(I)∵AE是圆柱的母线∴AE⊥底面BEFC,(1分)
又BC?面BEFC∴AE⊥BC(2分)
又∵ABCD是正方形∴AB⊥BC
又AE∩AB=A∴BC⊥面ABE(3分)
又BE?面ABE∴BC⊥BE(4分)
(II)∵四边形AEFD为矩形,且ABCD是正方形∴EF
BC
∵BC⊥BE∴四边形EFBC为矩形∴BF为圆柱下底面的直径(1分)
设正方形ABCD的边长为x,则AD=EF=AB=x
在直角△AEB中AE=2,AB=x,且BE2+AE2=AB2,得BE2=x2-4
在直角△BEF中BF=6,EF=x,且BE2+EF2=BF2,的BE2=36-x2(2分)
解得x=2
,即正方形ABCD的边长为2
(3分)
(III)解:如图以F为原点建立空间直角坐标系,
则A(2
,0,2),B(2
,4,0),E(2
,0,0),
=(2
,0,2),
=(2
,4,0),
=(2
,0,0)(1分)
设面AEF的法向量为
=(x,y,z),则
(3分)
令x=1,则y=
,z=
,即
=(1,
,
)(4分)
设直线EF与平面ABF所成角的大小为θ,则sinθ=|COS<
,
>|=|
|=|
|=
(6分)
所以直线EF与平面ABF所成角的正弦值为
.

又BC?面BEFC∴AE⊥BC(2分)
又∵ABCD是正方形∴AB⊥BC
又AE∩AB=A∴BC⊥面ABE(3分)
又BE?面ABE∴BC⊥BE(4分)
(II)∵四边形AEFD为矩形,且ABCD是正方形∴EF
∥ |
. |
∵BC⊥BE∴四边形EFBC为矩形∴BF为圆柱下底面的直径(1分)
设正方形ABCD的边长为x,则AD=EF=AB=x

在直角△AEB中AE=2,AB=x,且BE2+AE2=AB2,得BE2=x2-4
在直角△BEF中BF=6,EF=x,且BE2+EF2=BF2,的BE2=36-x2(2分)
解得x=2
5 |
5 |
(III)解:如图以F为原点建立空间直角坐标系,
则A(2
5 |
5 |
5 |
FA |
5 |
FB |
5 |
FE |
5 |
设面AEF的法向量为
n |
|
令x=1,则y=
| ||
2 |
5 |
n |
| ||
2 |
5 |
设直线EF与平面ABF所成角的大小为θ,则sinθ=|COS<
n |
EF |
| ||||
|
|
2
| ||||||
2
|
2
| ||
29 |
所以直线EF与平面ABF所成角的正弦值为
2
| ||
29 |
点评:本题主要考查了线线位置关系,线面所成角的度量,以及利用空间向量的方法求解立体几何问题,属于中档题,考查空间想象能力,计算能力.
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