题目内容
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A1B=2．（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；
（2）在棱B1C1上确定一点P，使
，并求出二面角P-AB-A1的平面角的余弦值．
【答案】分析：（1）由题意建立如图的空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用向量的夹角求出要求的两条直线的夹角；
（2）利用上一问写出相应的向量的坐标，利用向量的夹角求出二面角的大小．
解答：
解：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），
B1（0，4，2），
，
．
，
故AA1与棱BC所成的角是
．
（2）设
，
则P（2λ，4-2λ，2）．
于是
（
舍去），
则P为棱B1C1的中点，其坐标为P（1，3，2）．
设平面P-AB-A1的法向量为
=（x，y，z），
则
⇒
⇒
故
=（-2，0，1）．
而平面ABA1的法向量是
=（1，0，0），
则
，
故二面角P-AB-A1的平面角的余弦值是
．
点评：此题重点考查了利用图形建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的夹角求出线线的夹角及二面角的大小．
（2）利用上一问写出相应的向量的坐标，利用向量的夹角求出二面角的大小．
解答：
解：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），
B1（0，4，2），
，．，故AA1与棱BC所成的角是
．（2）设
，则P（2λ，4-2λ，2）．
于是
（舍去），则P为棱B1C1的中点，其坐标为P（1，3，2）．
设平面P-AB-A1的法向量为
=（x，y，z），则
⇒⇒故
=（-2，0，1）．而平面ABA1的法向量是
=（1，0，0），则
，故二面角P-AB-A1的平面角的余弦值是
．点评：此题重点考查了利用图形建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的夹角求出线线的夹角及二面角的大小．
练习册系列答案
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