Question

已知函数f(x)=2

3

sin(

x

2

+

π

4

)cos(

x

2

+

π

4

)-sin(x+π)．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若将f（x）的图象向右平移

π

6

个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、诱导公式、两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，即可求f（x）的最小正周期；
（2）将f（x）的图象向右平移

π

6

个单位，求出函数g（x）的解析式，然后在区间[0，π]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）f(x)=

3

sin(x+

π

2

)+sinx=

3

cosx+sinx（2分）
=2(

1

2

sinx+

3

2

cosx)=2sin(x+

π

3

)．（4分）
所以f（x）的最小正周期为2π．（6分）
（2）∵将f（x）的图象向右平移

π

6

个单位，得到函数g（x）的图象，
∴g(x)=f(x-

π

6

)=2sin[(x-

π

6

)+

π

3

]=2sin(x+

π

6

)．（8分）
∵x∈[0，π]时，x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，（10分）
∴当x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，sin(x+

π

6

)=1，g（x）取得最大值2．（11分）
当x+

π

6

=

7π

6

，即x=π时，sin(x+

π

6

)=-

1

2

，g（x）取得最小值-1．（13分）

点评：本小题主要考查了三角函数中诱导公式、两角和与差的正余弦公式、二倍角公式、三角函数的性质和图象，以及图象变换等基础知识，考查了化归思想和数形结合思想，考查了运算能力．