题目内容

已知数列{a_n}前n项和为S_n，且满足 $数学公式$ ，a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2）
（1）求证： $数学公式$ 是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记数列{b_n}的通项公式 $数学公式$ ，T_n=b₁+b₂+…+b_n若 $数学公式$ （m∈z）恒成立，求m的最小值．

解：（1）证明：∵ $\text{[math]}$ ，a_n+2S_nS_n-1=0 （n≥2），故 S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =2，
故 $\text{[math]}$ 是以2为公差、以2为首项的等差数列．
（2）由（1）可得 $\text{[math]}$ =2+（n-1）2=2n，∴S_n= $\text{[math]}$ ，S_n-1= $\text{[math]}$ ．
∴a_n=S_n-S_n-1= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，（n≥2）．
综上可得 a_n= $\text{[math]}$ ．

（3）∵ $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ①
∴ $\text{[math]}$ ②
①-②： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
再由 $\text{[math]}$ 恒成立，
∴m≥4，故m的最小值等于4．
分析：（1）把已知条件变形可得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =2，故 $\text{[math]}$ 是以2为公差、以2为首项的等差数列．
（2）由（1）可得 $\text{[math]}$ =2+（n-1）2=2n，S_n= $\text{[math]}$ ，S_n-1= $\text{[math]}$ ．由n≥2时，a_n=S_n-S_n-1 求出数列{a_n}的通项公式．
（3）由于 $\text{[math]}$ ，用错位相减法求出它的前n项和T_n的值，再由 $\text{[math]}$ 恒成立，得m≥4，由此求得m的最小值
点评：本题主要考查等差关系的确定，用错位相减法对数列进行求和，数列的第n项与前n项和的关系，数列与不等式的综合，函数的恒成立问题，属于难题．