Question

18．已知点M（1，3），N（5，-2），在x轴上取一点P，使得||PM|-|PN||最大，求P点坐标；若使||PM|+|PN||最小，P点坐标又是多少？

Answer 1

分析 利用三角形两边之差的绝对值小于第三边，求||PM|-|PN||最大，连接MN，则||PM|+|PN||最小为|MN|，即可得出结论

解答 解：已知M（1，3），N（5，-2），作N关于x轴的对称点N'（5，2），则利用三角形两边之差的绝对值小于第三边可得||PM|-|PN||≤|MN′|=$\sqrt{（5-1）^{2}+（2-3）^{2}}$=$\sqrt{17}$
直线MN′的方程为：y-3=-$\frac{1}{4}$（x-1），令y=0，得x=13，即P（13，0）；
连接MN，则||PM|+|PN||最小为|MN|=$\sqrt{（5-1）^{2}+（-2-3）^{2}}$=$\sqrt{41}$，
直线MN的方程为y-3=-$\frac{5}{4}$（x-1），y=0，可得x=$\frac{17}{5}$，∴P（$\frac{17}{5}$，0）．

点评 本题考查两点间距离公式的运用，考查对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．