Question

已知f（x）是定义在R上的函数，那么“f（x）是偶函数”是“

f2(x)+f2(-x)

2

=f(x)f(-x)对任意x∈R成立”的

 

条件．

Answer 1

分析：若f（x）是偶函数则有f（-x）=f（x），从而有

f2(x)+f2(-x)

2

=f(x)f(-x)成立说明是充分条件；若

f2(x)+f2(-x)

2

=f(x)f(-x)
则由基本不等式

a2+ b2

2

≥ab，当a=b时，取“=”有f（-x）=f（x），得到函数f（x）是偶函数说明是必要条件．

解答：解：若f（x）是偶函数
则f（-x）=f（x）
有

f2(x)+f2(-x)

2

=f(x)f(-x)成立
是充分条件
若

f2(x)+f2(-x)

2

=f（x）f（-x）
则由基本不等式

a2+b2

2

≥ab，当a=b时，取“=”
∴f（-x）=f（x）
∴f（x）是偶函数
是必要条件
故答案为：充要条件

点评：本题主要考查函数的奇偶性，基本不等式以及常用逻辑用语，考查巧妙，灵活，是一道好题．