题目内容

已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|．
（Ⅰ）当a=2时，作出图形并写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a=-2时，求函数y=f（x）在区间 $数学公式$ 的值域；
（Ⅲ）设a≠0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围（用a表示）．

解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x|x-2|= $\text{[math]}$ ，作出图象，

由图可知，函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）；
（Ⅱ）当a=-2时，f（x）=x|x+2|= $\text{[math]}$ ，

∵f（-1- $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ -2（-1- $\text{[math]}$ ）=-1，f（-1）=（-1）²+2×（-1）=-1，f（2）=4+4=8，
∴函数y=f（x）在区间 $\text{[math]}$ 的值域为[-1，8]；
（Ⅲ）∵a≠0，f（x）=x|x-a|= $\text{[math]}$ ，函数f（x）有两个零点：0和a，
若a＞0，在（-∞， $\text{[math]}$ ）上单调递增，在（ $\text{[math]}$ ，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
为使在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，必须0≤m＜ $\text{[math]}$ ，n≤ $\text{[math]}$ a．
若a＜0，在（-∞，a）上单调递增，在（a， $\text{[math]}$ ）上单调递减，在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递增．
为使在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，必须m≥ $\text{[math]}$ a，n≤0．
分析：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x|x-2|= $\text{[math]}$ ，作出图象即可写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a=-2时，f（x）=x|x+2|= $\text{[math]}$ ，可求得函数y=f（x）在区间 $\text{[math]}$ 的值域为[-1，8]；
（Ⅲ）设a≠0，f（x）=x|x-a|= $\text{[math]}$ ，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，须m＜ $\text{[math]}$ ，n＞a．
点评：本题考查带绝对值的函数，着重考查分段函数的图象与性质，考查函数的单调性，最值，考查化归思想，数形结合思想，分类讨论思想的综合运用，属于难题．