Question

设，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．

Answer 1

答案：略
解析：

解法1：1≤f(－1)=a－b≤2，2≤f(1)=a＋b≤4． 两式相加，得3≤2a≤6，∴． 又∵－2≤b－a≤－1，2≤b＋a≤4， ∴0≤2b≤3．∴． ∴6≤4a≤12，－3≤－2b≤0． ∴3≤f(－2)=4a－2b≤12． 解法2：由f(－1)=a－b，f(1)=a＋b， 得，． ∴f(－2)=4a－2b=f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2，∴3≤3f(－1)≤6． 又2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10．

提示：

比较上述两种解法，所得结果分别为3≤f(－2)≤12与5≤f(－2)≤10．显然结果不同，为什么呢？考虑条件1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，得到的是1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4这两个结论，显然a、b两字母是相互联系的整体而并不独立存在着，如果确定出a、b的各自范围，，那么0≤a－b≤3，，即0≤f(－1)≤3，，这与条件矛盾了！因此，解法1方法错了，本题的答案应该是5≤f(－2)≤10． 总结本题，可知：如果条件是多个字母相关连(如和、差、积、商等)的范围，在求解与这些字母有关代数式范围时，我们利用整体代换的方式，把要求范围的代数式用已知代数式表示，再利用不等式性质求解．这种整体思想要注意把握和运用． f(－1)=a－b，f(1)=a＋b，一方面，由条件知1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，因此可确定字母a、b的范围，进而求出f(－2)的范围；另一方面，由f(－1)，f(1)可求出，，进而用f(－1)、f(1)表示出f(－2)，从而求出f(－2)的范围，两方面所求结论是否相同呢？如果不同，哪方面出现了问题？